§7.8 空间直线及其方程

一 空间直线的一般方程

空间直线可看成两平面和的交线。事实上，若两个相交的平面和分别为

和

那么空间直线上的任何一点的坐标同时满足这两个平面方程，即应满足方程组

(1)

反过来，如果点不在直线上，那么它不可能同时在平面和上，所以它的坐标不满足方程组(1)。

因此，可用方程组(1)表示，方程组(1)叫做空间直线的一般方程。

一般说来，过空间一直线的平面有无限多个，所以只要在无限多个平面中任选其中的两个，将它们的方程联立起来，就得到了空间直线的方程。

二 空间直线的对称式方程和参数方程

若一非零向量平行于一条已知直线，这个向量就称之该直线的方向向量。显然，直线上的任何向量均平行于直线的方向向量。

我们知道，过空间一点可作而且只能作一条直线平行于一已知直线，因此，当直线上的一点和它的一个方向向量给定之后，空间直线的位置就完全确定下来了。

下面，我们来建立这种直线的方程。

设是直线上的任一点，则 ，而

故 (2)

反过来，如果点不在直线上，则与不平行，从而(2)式不成立。

因此，方程组(2)就是直线的方程。称此方程为直线的对称式方程。

直线的任一方向向量的坐标叫做该直线的一组方向数，而它的方向余弦叫做该直线的方向余弦。

如设

则 (3)

方程组(3)叫做直线的参数方程。

【例1】用对称式方程及其参数方程表示直线

解：先找出这直线上的一点，如：取 代入方程组得

解此二元一次方程组得

于是，得到直线上的一点 。

再找该直线的一个方向向量，由于两平面的交线与两平面的法线向量

都垂直，可取

因此，所给直线的对称式方程为

直线的参数方程为

三 两直线的夹角

两直线的方向向量的夹角叫做两直线的夹角。

设有直线

和直线

的方向向量

的方向向量

两直线的夹角的余弦便是两方向向量夹角的余弦。

(4)

由(4)式有

1、

2、

四 直线与平面的夹角

直线和它在平面的投影直线所做成的两个邻角中的任何一个，称作直线与平面的夹角，并记作。

显然，这两个角互为补角，因此，我们不妨规定：

下面导出的计算公式。

设直线的方程为

平面的方程为

直线的方向向量与平面的法线向量的夹角为 或 。

而

故 (5)

由(5)式有：

1、

2、

五 平面束及其应用

平面束的概念

设直线由方程组

所确定，其中系数与不成比例，亦即由(1)、(2)所表示的两平面不平行。

建立三元一次方程

其中为任意常数。

因与不成比例，对于任何一个值，方程(3)

的系数不全为零，从而(3)表示一个平面。

若一点在直线上，则点的坐标必同时满足方程(1)和(2)，因此，也必满足(3)，则方程(3)表示过直线的一个平面。而且对于不同的值，方程(3)表示过直线的不同平面。

反过来，通过直线的任何平面(除平面(2)外)，都包含在方程(3)所表示的一族平面内。

通过定直线的所有平面的全体称为平面束，而方程(3)称为过直线的平面束方程。

【例2】求直线：

在平面

上的投影直线的方程。

【解一】直线在平面上的投影直线，也应在过且垂直于平面的平面上，而过直线的平面束方程为

即

其中为任意常数。

使它与平面相垂直条件为

,

故，过直线且垂直于平面的平面为

从而，投影直线的方程为

【解二】先给出直线的对称式方程

令，解方程 有

得直线上的一点

直线的方向向量为

而平面的法线向量为

过直线且垂直于平面的方程可设为

这里系数应适合方程

解之得

代入所设投影平面方程有

约去非零因子， 得

投影直线的方程为